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解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略

  数学创新思维培养就是以强烈的创新意识进行熏陶感染,鼓励将个人储备的知识信息进行重新组合,从而形成一些具有较高价值的新发现、新设想。数学创新思维培养在创造性思维的形成过程中起到十分关键的作用,其不仅有助于扎实、牢固地掌握数学基础知识,同时也可以借助数学知识这一载体,有效掌握正确的数学思想方法,体会数学知识的应用价值,进而树立正确的数学观与数学创新意识。因此,本文以高中数学几何解题技巧之数形结合为研究对象,围绕速解高中解析几何方法中的数形结合进行了分析,并对数形结合在解析几何几种题型中的运用进行了举例说明。

  一、“数”“形”结合解题法的理论概述

  (一)方法释义

  首先,关于解析几何的释义,其泛指几何学上一个小分支,主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质,因此也称作“坐标几何”。其包括平面解析几何和立体解析几何两部分,其中,平面解析几何是二维空间上的解析几何;立体解析几何是三维空间上的解析几何,而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。

  其次,关于数形结合的释义,即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应,用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来,通过形象思维与抽象思维之间的结合,以形助数,或以数解形,从而使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,以起到优化解题途径的目的。

  (二)解题思路

  在遇到解析几何时,能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系,将“数”与“形”一一对应,便能够快速找到解题突破点。事实上,当熟练掌握到数形结合方法,能够举一反三时,遇到的所有题目都将是同一题目了。因此,掌握数形结合思,就必须厘清下列关系:第一点,复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念;第二点,题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义;第三点,函数与图象的对应关系;第四点曲线与方程的对应关系;第五点,实数与数轴上的点的对应关系。

  二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析

  (一)解析几何中圆类问题

  实践证明,数形结合对速解圆类问题的帮助很大,因为在一般解题过程中,解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。比如在判断圆与直线的位置关系时,通过建立直角坐标系,便可以直观地观察到直线在圆外,但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形:通过计算圆心到直线的距离,距离比圆的半径大即表明直线在圆外。这是最基本的用“数”“形”结合方式解答圆类问题。为更为详尽的说明,下文将针对对“数”“形”结合法速解解析几何圆类问题作出例题说明:

  例题1:已知曲线y=1+√(4-x2)与直线y=k(x-2)+4交于两个不同的点,求实数k的取值范围。

  解析:将曲线y=1+√(4-x2)变形,得x2+(y-1)2=4(1≤y≤3),可知曲线是以点A(0,1)为圆心,2为半径的圆,但是值域y要大于1,因此是上半圆;

  直线y=k(x-2)+4过定点B(2,4);当直线绕点B按顺时针旋转至直线与圆相切,当直线与圆的一个交点在弧线MT之间都满足题目要求,符合题意;

  而交点M在直线y=1上,因此可算出M点的坐标,即M(-2,1);

  直线BM可用点斜式法计算出来,例题1kMB=3/4,即点M到点A之间的距离等于半径;

  列等式∣1+2k-4∣/√(1+k2),可解得kBT=5/12。因此,k∈(5/12,3/4]。

  (二)解析几何不等式问题

  运用数形结合法解决解析几何中的不等式问题主要是将原不等式化解,通常能化解为某个曲线方程,然后将曲线方程在数轴上表示,注意计算过程中值域与定义域,然后几个图形的交集就是该不等式的解集。

 

  三、结语

  基于上述可知,合理运用“数”“形”结合的方法,对于解析几何的答题速度与准确度都有着相当大的优势,其不仅能够减少运算量,还能显著节省答题时间,提高解题正确率。

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